Question

（1）设椭圆C₁：与双曲线C₂：有相同的焦点F₁、F₂，M是椭圆C₁与双曲线C₂的公共点，且△MF₁F₂的周长为6，求椭圆C₁的方程；
我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．
（2）如图，已知“盾圆D”的方程为．设“盾圆D”上的任意一点M到F（1，0）的距离为d₁，M到直线l：x=3的距离为d₂，求证：d₁+d₂为定值；
（3）由抛物线弧E₁：y²=4x（0）与第（1）小题椭圆弧E₂：（）所合成的封闭曲线为“盾圆E”．设过点F（1，0）的直线与“盾圆E”交于A、B两点，|FA|=r₁，|FB|=r₂且∠AFx=α（0≤α≤π），试用cosα表示r₁；并求的取值范围．

Answer 1

（1）解：由△MF₁F₂的周长为6得2（a+c）=6，即a+c=3，
椭圆C₁与双曲线C₂：有相同的焦点，所以c=1，所以a=2，b²=a²-c²=3，
椭圆C₁的方程为；
（2）证明：设“盾圆D”上的任意一点M的坐标为（x，y），d₂=|x-3|．
当M∈C₁时，y²=4x（0≤x≤3），=|x+1|，
则d₁+d₂=|x+1|+|x-3|=（x+1）+（3-x）=4；
当M∈C₂时，y²=-12（x-4）（3＜x≤4），=|7-x|，
则d₁+d₂=|7-x|+|x-3|=（7-x）+（x-3）=4；
所以d₁+d₂=4为定值；
（3）显然“盾圆E”由两部分合成，所以按A在抛物线弧E₁或椭圆弧E₂上加以分类，由“盾圆E”的对称性，不妨设A在x轴上方（或x轴上）：
当时，，此时r=，cosα=-；
当-≤cosα≤1时，A在椭圆弧E₂上，
由题设知A（1+r₁cosα，r₁sinα）代入得，3（1+r₁cosα）²+4-12=0，
整理得（4-cos²α）+6r₁cosα-9=0，
解得或（舍去）．
当-1≤cosα≤-时A在抛物线弧E₁上，
由方程或定义均可得到r₁=2+r₁cosα，于是，
综上，（-1）或（-≤cosα≤1）；
相应地，B（1-r₂cosα，-r₂sinα），
当-1时A在抛物线弧E₁上，B在椭圆弧E₂上，
==∈[1，]；
当1时A在椭圆弧E₂上，B在抛物线弧E₁上，
•=∈[，1]；
当-时A、B在椭圆弧E₂上，
=∈（，）；
综上的取值范围是[，]．
分析：（1）由△MF₁F₂的周长为6得a+c=3，由椭圆与双曲线共焦点可得c值，据平方关系可求得b；
（2）设“盾圆D”上的任意一点M的坐标为（x，y），d₂=|x-3|．分M∈C₁时，M∈C₂时两种情况表示出d₁，再分别计算d₁+d₂即可求得定值；
（3）由“盾圆E”的对称性，不妨设A在x轴上方（或x轴上），当时，，此时r=，cosα=-，分类讨论：-≤cosα≤1时，A在椭圆弧E₂上，-1≤cosα≤-时A在抛物线弧E₁上，由条件可表示出此时r₁，相应地，B（1-r₂cosα，-r₂sinα），再按-1时A在抛物线弧E₁上，B在椭圆弧E₂上，当1时A在椭圆弧E₂上，B在抛物线弧E₁上，
当-时A、B在椭圆弧E₂上，利用三角函数性质分别求出的范围即可．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、两点间距离公式及椭圆方程的求解，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，本题综合性强，难度大，对能力要求高．