Question

如图，F₁，F₂为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e=

3

2

，S△DEF2=1-

3

2

．若点M（x₀，y₀）在椭圆C上，则点N（

x0

a

，

y0

b

）称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）△AOB的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由离心率e=

3

2

，S△DEF2=1-

3

2

，可得

c

a

=

3

2

，

1

2

（a-c）b=1-

3

2

，又a²=b²+c²．联立解得即可．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则P(

x1

2

，y1)，Q(

x2

2

，y2)．由

OP

⊥

OQ

，可得

OP

•

OQ

=

x1x2

4

+y1y2=0．（*）设直线l的方程为my+t=x，与椭圆方程联立可得根与系数的关系，代入（*）可得m，t的关系，利用两点间的距离公式可得|AB|，利用点的直线距离公式可得点O到直线AB的距离，利用三角形的面积计算公式即可得出定值．

解答：解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

2

，S△DEF2=1-

3

2

，
∴

c

a

=

3

2

①，

1

2

（a-c）b=1-

3

2

②，又a²=b²+c²③．
由①②③组成方程组，解得a²=4，b²=1．
∴椭圆C的标准方程为

x2

4

+y2=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则P(

x1

2

，y1)，Q(

x2

2

，y2)．
∵

OP

⊥

OQ

，∴

OP

•

OQ

=

x1x2

4

+y1y2=0．（*）
设直线l的方程为my+t=x，联立

my+t=x x2+4y2=4

，化为（4+m²）y²+2mty+t²-4=0，
∵直线l与椭圆相交于两点，∴△=4m²t²-4（4+m²）（t²-4）＞0，化为m²+4＞t²．（**）
∴y1+y2=-

2mt

4+m2

，y1y2=

t2-4

4+m2

，
∴x₁x₂=（my₁+t）（my₂+t）=m2y1y2+mt(y1+y2)+t2，
代入（*）可得(m2+4)y1y2+mt(y1+y2)+t2=0．
∴t2-4-

2m2t2

4+m2

+t2=0，
∴t2=

4+m2

2

，代入（**）知成立．
|AB|=

(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(1+m2)[ 4m2t2 (4+m2)2 - 4(t2-4) 4+m2 ]

=

4 (1+m2)(4+m2-t2)

4+m2

．
点O到直线AB的距离d=

|t|

1+m2

．
又S_△AOB=

1

2

|AB|•d=2为定值．

点评：本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、两点间的距离公式、点的直线距离公式、三角形的面积计算公式、新定义、向量垂直与数量积的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．