Question

2．已知函数f（x）=ax²-2ax+lnx+a+1．
（1）当$a=-\frac{1}{4}$时，求函数f（x）的极值；
（2）若函数f（x）在区间[2，4]上是减函数，求实数a的取值范围；
（3）当x∈[1，+∞]时，函数y=f（x）图象上的点都在$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ y-x≤0\end{array}\right.\end{array}$所表示的平面区域内，求数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过a=-$\frac{1}{4}$，求出函数的导数，利用导数为0，然后求出极值点，然后求函数f（x）的极值；
（2）利用函数f（x）在区间[2，4]上是减函数，导数小于0恒成立，然后求实数a的取值范围；
（3）问题等价于a（x-1）²+lnx-x+1≤0恒成立，设g（x）=a（x-1）²+lnx-x+1（x≥1），只需g（x）_max≤0即可，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出a的范围．

解答 解：（1）当a=-$\frac{1}{4}$时，f′（x）=-$\frac{（x-2）（x+1）}{2x}$（x＞0），
则当0＜x＜2时f'（x）＞0，故函数f（x）在（0，2）上为增函数；
当x＞2时f'（x）＜0，故函数f（x）在（2，+∞）上为减函数，
故当x=2时函数f（x）有极大值f（2）=$\frac{3}{4}$+ln2；
（2）f′（x）=2a（x-1）+$\frac{1}{x}$，因函数f（x）在区间[2，4]上单调递减，
则f′（x）=2a（x-1）+$\frac{1}{x}$≤0在区间[2，4]上恒成立，
即2a≤$\frac{1}{{-x}^{2}+x}$在[2，4]上恒成立，
而当2≤x≤4时，$\frac{1}{{-x}^{2}+x}$∈[-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{12}$]，
2a≤-$\frac{1}{2}$，即a≤-$\frac{1}{4}$，故实数a的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{4}$]；
（3）因f（x）图象上的点都在 $\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{y-x≤0}\end{array}\right.$所表示的平面区域内，
即当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，
即a（x-1）²+lnx-x+1≤0恒成立，
设g（x）=a（x-1）²+lnx-x+1（x≥1），
只需g（x）_max≤0即可，
由g′（x）=2a（x-1）+$\frac{1}{x}$-1=$\frac{2{ax}^{2}-（2a+1）x+1}{x}$，
（i）当a=0时，g′（x）=$\frac{1-x}{x}$，
当x＞1时，g'（x）＜0，
函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，
故g（x）≤g（1）=0成立．
（ii）当a＞0时，由g′（x）=$\frac{2a（x-1）（x-\frac{1}{2a}）}{x}$，
令g'（x）=0，得x₁=1或x₂=$\frac{1}{2a}$，
①若$\frac{1}{2a}$≤1，即a≥$\frac{1}{2}$时，在区间[1，+∞）上，g'（x）≥0，
函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，
函数g（x）在[1，+∞）上无最大值，不满足条件；
②若$\frac{1}{2a}$＜1，即0＜a＜$\frac{1}{2}$时，
函数g（x）在[1，$\frac{1}{2a}$）上单调递减，在区间[$\frac{1}{2a}$，+∞）上单调递增，
同样g（x）在[1，+∞）无最大值，不满足条件．
（iii）当a＜0时，因x∈[1，+∞），故g'（x）≤0，
则函数g（x）在[1，+∞）上单调递减，
故g（x）≤g（1）=0成立．
综上所述，实数a的取值范围是（-∞，0]．

点评 本题考查考查函数的导数的应用，函数的极值，函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．