Question

17．平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，在极坐标中，已知圆C经过点$P（{\sqrt{2}，\frac{π}{4}}）$，圆心为直线$l：ρsin（{θ-\frac{π}{3}}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$与极轴的交点．求：
（1）直线l的直角坐标方程．
（2）圆C的极坐标方程．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标方程与直角坐标方程的互化方法，可得直线l的直角坐标方程．
（2）求出圆心与半径，可得圆C的极坐标方程．

解答 解：（1）直线$l：ρsin（{θ-\frac{π}{3}}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，即$\frac{1}{2}ρsinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，可化为$l：\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$；
（2）∵圆C圆心为直线$ρsin（{θ-\frac{π}{3}}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$与极轴的交点，
∴在$ρsin（{θ-\frac{π}{3}}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$中令θ=0，得ρ=1．
∴圆C的圆心坐标为（1，0）．
∵圆C经过点$P（{\sqrt{2}，\frac{π}{4}}）$，
∴圆C的半径为$PC=\sqrt{{{（{\sqrt{2}}）}^2}+{1^2}-2×1×\sqrt{2}cos\frac{π}{4}}=1$．
∴圆C经过极点．
∴圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、圆的极坐标方程，考查了计算能力，属于基础题．