Question

设{a_n}是集合{2^t+2^s|0≤s＜t且s，t∈N}中所有的数从小到大排成的数列，即a₁=3，a₂=5，a₃=6，a₄=9，a₅=10，a₆=12，…，将数列{a_n}各项按从小到大写成如下三角形数表，用b_ij表示数表中第i行第j个数（1≤j≤i）则
（Ⅰ）a₂₇=

 

．
（Ⅱ）

n

i=1

（

i

i=1

bij）=

 

．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：规律型,集合

分析：（I）如果用（t，s）表示2^t+2^s，则a₁=（1，1）=2^1-1+2¹=3，a₂=（2，1）=2²+2^1-1=5，a₃=（2，2）=2²+2^2-1=6，第n行有n个数，设a₂₇在第n行，则

n(n-1)

2

+1≤27≤

n(n+1)

2

，由此能求出a₂₇．
（II）依题意，b_n=（2ⁿ+2⁰）+（2ⁿ+2¹）+…+（2ⁿ+2^n-1）=（n+1）2ⁿ-1，然后由错位相减法能得到前n项和S_n=

n

i=1

（

i

i=1

bij）．

解答： 解：（I）第n行有n个数，设a₂₇在第n行，则

n(n-1)

2

+1≤27≤

n(n+1)

2

，
则n=7，且a₂₇为第7行的第6项，
则a₂₇=2⁷+2^6-1=128+32=160；
（II）依题意，第n行的总和

i

i=1

bij=（2ⁿ+2⁰）+（2ⁿ+2¹）+…+（2ⁿ+2^n-1）=（n+1）2ⁿ-1，

n

i=1

（

i

i=1

bij）=b₁+b₂+…+b_n-1+b_n=（2×2¹-1）+（3×2²-1）+…+（n×2^n-1-1）+[（n+1）2ⁿ-1]=[2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1+（n+1）2ⁿ]-n，
2

n

i=1

（

i

i=1

bij）=[2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ+（n+1）2ⁿ⁺¹]-2n，
两式相减，并由等比数列前n项和公式得：

n

i=1

（

i

i=1

bij）=-2×2¹-[2²+2³+…+2ⁿ]+（n+1）2ⁿ⁺¹-n
=n×（2ⁿ⁺¹-1）．
故答案为：160，n（2ⁿ⁺¹-1）

点评：本题考查了一个探究规律型的问题，解题时要认真分析题意，寻找其中的规律，从而解出结果．