Question

a、b∈R⁺且a≠b，c=(

a

b

)a-bf（x）=|2^x-1-1|．
（1）比较c与1的大小；
（2）比较f(c)与f(

1

c

)的大小．

Answer 1

分析：（1）利用指数函数的单调性是比较c与1的大小的关键，注意对正数a，b的讨论：分a＞b和a＜b两种情况完成该题的解决；
（2）根据（1）的结论，以及计算函数f（x）在c和

1

c

处的函数值，将绝对值去掉，通过作差比较确定出比较f(c)与f(

1

c

)的大小．

解答：解：（1）若a＞b＞0，则

a

b

＞1，a-b＞0，从而c=(

a

b

)a-b＞1；若0＜a＜b，则0＜

a

b

＜1，a-b＜0，从而c=(

a

b

)a-b＞1；综上均有c＞1．
（2）由（1）知c＞1，0＜

1

c

＜1，因此2^c-1＞1，2

1

c

-1＜1，故f（c）=2^c-1-1，f(

1

c

)=1-2

1

c

-1
从而f(c)-f(

1

c

)=2c-1-1-(1-2

1

c

-1)=2c-1+2

1

c

-1-2≥2

2c+ 1 c -2

-2，由于c＞1，故c+

1

c

＞2，从而f(c)-f(

1

c

)≥2

2c+ 1 c -2

-2＞2-2=0，因此，f(c)＞f(

1

c

)．

点评：本题考查指数函数单调性的应用，考查学生的分类讨论思想和转化与化归思想，考查学生的基本不等式处理问题的思想和方法，考查学生比较大小的作差法，考查学生的运算化简能力．