Question

已知有下列四个命题：
①若a、b∈R且a+b=2，则

1

a

+

1

b

的最小值为2；
②函数f（x）=2^x-x²在（-∞，0）是增函数；
③若f（x）在R上恒有f（x+2）•f（x）=1．则4为f（x）的一个周期；
④函数y=2cos²x+sin2x的最小值为

2

+1．正确命题是

 

．

Answer 1

分析：①举反例，即可说明该命题不正确；
②求导，判断导函数的符号，从而确定命题的正确与否；
③以x+2代f（x+2）•f（x）=1中的x，得到f（x+4）=f（x），从而得到结论；
④先利用三角函数的二倍角公式化简函数，再利用公式 asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+θ)化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最小值．

解答：解：①若a、b∈R且a+b=2，则

1

a

+

1

b

的最小值为2，错，如a=4，b=-2，满足a+b=2，但是

1

a

+

1

b

=-

1

4

；
②f′（x）=2^xln2-2x＞0（x＜0），∴函数f（x）=2^x-x²在（-∞，0）是增函数；故该命题正确；
③∵f（x+2）•f（x）=1，∴f（x+4）•f（x+2）=1，∴f（x+4）=f（x），故4为f（x）的一个周期；该命题正确；
④y=2cos²x+sin2x
=1+cos2x+sin2x
=1+

2

(

2

2

cos2x+

2

2

sin2x)
=1+

2

sin(2x+

π

4

)
当 2x+

π

4

=2k π-

π

2

，有最小值1-

2

故该命题错；
故答案为：②③

点评：此题是个基础题．考查基本不等式求最值，注意正、定、等三方面兼顾，以及函数的周期性的定义，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．