Question

【题目】如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是棱长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，且面PAD⊥面ABCD，E、F分别为棱AB、PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求三棱锥B﹣EFC的体积；
（3）求二面角P﹣EC﹣D的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取PD中点G，连结GF、AG，

∵GF为△PDC的中位线，∴GF∥CD且 ，

又AE∥CD且 ，∴GF∥AE且GF=AE，

∴EFGA是平行四边形，则EF∥AG，

又EF面PAD，AG面PAD，

∴EF∥面PAD

（2）解：取AD中点O，连结PO，

∵面PAD⊥面ABCD，△PAD为正三角形，∴PO⊥面ABCD，且 ，

又PC为面ABCD斜线，F为PC中点，∴F到面ABCD距离 ，

故

（3）解：连OB交CE于M，可得Rt△EBC≌Rt△OAB，

∴∠MEB=∠AOB，则∠MEB+∠MBE=90°，即OM⊥EC．

连PM，又由（2）知PO⊥EC，可得EC⊥平面POM，则PM⊥EC，

即∠PMO是二面角P﹣EC﹣D的平面角，

在Rt△EBC中， ，∴ ，

∴ ，即二面角P﹣EC﹣D的正切值为

【解析】（1）取PD中点G，连结GF、AG，由三角形中位线定理可得GF∥CD且 ，再由已知可得AE∥CD且 ，从而得到EFGA是平行四边形，则EF∥AG，然后利用线面平行的判定可得EF∥面PAD；（2）取AD中点O，连结PO，由面面垂直的性质可得PO⊥面ABCD，且 ，求出F到面ABCD距离 ，然后利用等积法求得三棱锥B﹣EFC的体积；（3）连OB交CE于M，可得Rt△EBC≌Rt△OAB，得到OM⊥EC．进一步证得PM⊥EC，可得∠PMO是二面角P﹣EC﹣D的平面角，然后求解直角三角形可得二面角P﹣EC﹣D的正切值．