Question

【题目】如图,矩形和菱形所在的平面相互垂直,,为的中点.

(1)求证：平面；

(2)若,求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)．

【解析】

（1）由面面垂直性质定理可得平面，即，根据菱形的性质可得，结合线面垂直判定定理即可的结果；（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面以及平面的法向量，求出法向量的夹角即可得二面角的余弦值.

（1）证明：∵矩形和菱形所在的平面相互垂直，

∴，

∵矩形菱形，∴平面，

∵平面，∴，

∵菱形中，，为的中点.

∴，即

∵，∴平面.

（2）由（1）可知两两垂直，以A为原点，AG为x轴，AF为y轴，AD为z轴，

建立空间直角坐标系，设，

则，故，，，，

则，，，

设平面的法向量，

则，取，得，

设平面的法向量，

则，取，得，

设二面角的平面角为，则，

易知为钝角，∴二面角的余弦值为．