Question

已知F₁、F₂分别是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的左、右焦点，A是其右顶点，过作x轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是△PF₁F₂的重心，若

.

GA

•

.

F1F2

=0，则双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

分析：求出F₁，F₂、A、G、P的坐标，由

GA

•

F1F2

=0，得GA⊥F₁F₂，故G、A 的横坐标相同，可得

c

3

=a，从而求出双曲线的离心率．

解答：解：由题意可得  F₁ （-c，0），F₂ （c，0），A（a，0）．把x=c代入双曲线方程可得y=±

b2

a

，
故一个交点为P（c，

b2

a

），由三角形的重心坐标公式可得G（

c

3

，

b2

3a

 ）．
若

GA

•

F1F2

=0，则 GA⊥F₁F₂，
∴G、A 的横坐标相同，
∴

c

3

=a，
∴

c

a

=3，
故答案为3．

点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，角形的重心坐标公式，求出重心G的坐标是解题的关键．