Question

已知F₁，F₂分别是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，P是双曲线的上一点，若

PF1

•

PF2

=0且|

PF1

|•|

PF2

|=3ab，则双曲线的离心率是

 

．

Answer 1

分析：先根据向量积为0判断两直线垂直，进而根据勾股定理可知|

PF1

| 2+|

PF2

| 2=4c2，进而根据|

PF1

|•|

PF2

|=-

(| PF1 |-| PF2 |) 2-(| PF1 | 2+| PF2 |) 2

2

建立等式求得a和b的关系式，最后根据a，b和c的平方关系求得a和c的关系，求得离心率e．

解答：解：∵

PF1

•

PF2

=0
∴PF₁⊥PF₂
∴|

PF1

| 2+|

PF2

| 2=4c2
∴|

PF1

|•|

PF2

|=-

(| PF1 |-| PF2 |) 2-(| PF1 | 2+| PF2 |) 2

2

=

4c2-4a2

2

=3ab
整理求得b=

3

2

a，
∵a²+b²=c²，
∴

9a2

4

+a²=c²，
∴e=

13

2

故答案为：

13

2

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和运算的能力．