Question

在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=x+m与椭圆C：

x2

16

+

y2

4

=1相交于A、B两点，且OA+OB＞AB．
（1）求m的取值范围；
（2）若以AB为直径的圆经过O点，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）联立

x2 16 + y2 4 =1 y=x+m

，直线 l椭圆C有两个交点，由△＞0即可求得m的范围，但要注意OA+OB＞AB的应用，去掉不符合题意的m的值；
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由（1）得x₁+x₂=-

8m

5

，x₁•x₂=

4m2-16

5

，由以AB为直径的圆经过O点得∠AOB=90°，从而由

QA

•

OB

=0可求得m的值，于是可得直线l的方程．

解答：解：（1）由方程组

x2 16 +  y2 4 =1 y=x+m

得：5x²+8mx+（4m²-16）=0，…（2分）
因为直线 l椭圆C有两个交点，所以△=（8m）²-4×5×（4m²-16）＞0…（4分），
解得-2

5

＜m＜2

5

…（5分），
又因为OA+OB＞AB，所以O∉l，m≠0，所以m的取值范围是（-2

5

，0）∪（0，2

5

）…（6分）．
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由（1）得x₁+x₂=-

8m

5

，x₁•x₂=

4m2-16

5

，
以AB为直径的圆经过点，所以∠AOB=90°…（8分），

QA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=0…（9分），
由y₁=x₁+m，y₂=x₂+m，…（10分），
得

QA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=2x₁•x₂+m（x₁+x₂）+m²
=

8m2-32

5

-

8m2

5

+m²=0…（12分），
解得m=±

4 10

5

…（13分），所以直线l的方程是：
y=x+

4 10

5

或y=x-

4 10

5

…（14分）．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查直线与圆锥曲线的方程联立，韦达定理的使用，侧重方程思想，化归思想的考查，易错点在于（1）中忽视m≠0的情况，属于综合性强，难度大的题目．