Question

【题目】如图，已知圆的方程为，圆的方程为，若动圆与圆内切，与圆外切．

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）过直线上的点作圆的两条切线，设切点分别是，，若直线与轨迹交于，两点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

根据已知条件动圆与圆内切，与圆外切，即可得到其轨迹为椭圆，从而求出结果

设的坐标是，切点坐标分别是，，求出切线方程，继而得到经过两点的直线的方程是，讨论当时和当时的取值范围

（1）设动圆的半径为，∵动圆与圆内切，与圆外切，

∴，且.

于是，，所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆.从而，，所以.

故动圆圆心的轨迹的方程为．

（2）设直线上任意一点的坐标是，切点坐标分别是，；则经过点的切线斜率，方程是，经过点的切线方程是，又两条切线，相交于 .

则有，所以经过两点的直线的方程是，

①当时，有，，，，则，，

所以；

②当时，联立，整理得；

设坐标分别为，，则，

所以，故，

所以.令，则，则，

又令，则，，令，

令，解可得，故在上单调递增，且有，而，所以；

综合①，②可得，所以的取值范围为．