Question

【题目】已知函数

（Ⅰ）讨论函数在上的单调性；

（Ⅱ）证明：恒成立.

Answer 1

【答案】（1），当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）见解析

【解析】

（1）求出（），通过当时，当时，判断导函数的符号，推出函数的单调区间即可．

证法二：记函数，通过导数研究函数的性质，，问题得证.

（Ⅰ） （），

当时，恒成立，所以，在上单调递增；

当时，令，得到，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减.

综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.

（Ⅱ）证法一：由（Ⅰ）可知，当时，，

特别地，取，有，即，所以（当且仅当时等号成立），

因此，要证恒成立，只要证明在上恒成立即可，

设（），则，

当时，，单调递减，当时，，单调递增.

所以，当时，，即在上恒成立.

因此，有，又因为两个等号不能同时成立，所以有恒成立.

证法二：记函数，

则，可知在上单调递增，又由知， 在上有唯一实根，且，则，即（*），

当时， 单调递减；当时， 单调递增，

所以，结合（*）式，知，

所以，

则，即，所以有恒成立.