Question

18．已知函数f（x）=x²-3x．若对于区间[-3，2]上任意的x₁、x₂．都有|f（x₁）-f（x₂）|≤m，则实数m的最小值是$\frac{81}{4}$．

Answer 1

分析 对于区间[-3，2]上的任意x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤t，等价于对于区间[-3，2]上的任意x，都有f（x）_max-f（x）_min≤m，利用二次函数的图象和性质，求最值，即可得出结论．

解答 解：对于区间[-3，2]上的任意x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤m，等价于对于区间[-3，2]上的任意x，都有f（x）_max-f（x）_min≤m，
∵f（x）=x²-3x，
∴函数在[-3，$\frac{3}{2}$]上单调递减，在[$\frac{3}{2}$，2]上单调递增，
∴f（x）_max=f（-3）=18，f（x）_min=f（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{9}{4}$，
∴f（x）_max-f（x）_min=$\frac{81}{4}$，
∴m≥$\frac{81}{4}$，
∴实数m的最小值是$\frac{81}{4}$，
故答案为：$\frac{81}{4}$

点评 本题考查二次函数的图象和性质，考查恒成立问题，确定函数的最值是关键．