Question

17．1+（1+$\frac{1}{2}$）+（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$）+…+（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2^{10}}$）的值为20+$\frac{1}{2^{10}}$．

Answer 1

分析 通过记a_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用等比数列的求和公式计算可知a_n=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，通过将所求值写成1×11+a₁+a₂+…+a₁₀，进而计算可得结论．

解答 解：记a_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
则a_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
则1+（1+$\frac{1}{2}$）+（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$）+…+（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2^{10}}$）
=1×11+a₁+a₂+…+a₁₀
=11+10-（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{2^{10}}$）
=21-（1-$\frac{1}{2^{10}}$）
=20+$\frac{1}{2^{10}}$，
故答案为：20+$\frac{1}{2^{10}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．