Question

【题目】如图，在直三棱柱中，点M，N分别为线段，的中点，，，．

（1）证明：；

（2）求平面与平面所成锐二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）取线段的中点 ，连接，．通过说明，即平面，来说明。

（2）以点C为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，由题意知为平面的法向量，计算出平面的法向量，再利用公式即可计算出平面与平面所成锐二面角。

（1）证明：如图，取线段的中点 ，连接，．

∵，，∴．

在直三棱柱中，，

∴．

∵，，∴．

∵，∴．

∵，平面，平面，∴平面．

∵平面，∴．

（2）解：如图，以点C为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，．

∵，，∴．∵．∴平面，

故为平面的一个法向量．

设平面的法向量为，由，，

则所以取，则．

可得，又，，∴．

故平面与平面所成锐二面角的大小为．