题目内容
（本小题满分14分）已知函数
同时满足如下三个条件：①定义域为
；②是偶函数；③
时，
，其中
.
（Ⅰ）求在
上的解析式，并求出函数的最大值；
（Ⅱ）当
，
时，函数
，若
的图象恒在直线
上方，求实数
的取值范围（其中
为自然对数的底数，
）.
【答案】
（Ⅰ）
（Ⅱ）
的图象恒在直线y=e上方
【解析】本试题主要是考查了函数定义域和奇偶性的判定以及奇偶性的运用和解析式的求解，以及图像与图像的位置关系的运用。
（1）因为函数
同时满足如下三个条件：①定义域为
；②是偶函数；③
时，
，其中
.
故可以得到在
上的解析式，并求出函数的最大值；
（2）当
，
时，函数
，若
的图象恒在直线
上方，即
成立即可。
解：（Ⅰ）任取
，
又f(x)是偶函数，故…………2分
由f(x)是定义域为
的偶函数可知，f(x)在
的最大值即可为f(x)的最大值.
当
…………5分
综上可知：
…………6分
另解：
由f(x)是定义域为的偶函数可知，f(x)在的最大值即可为f(x)的最大值.
当
当
此时
…
当
①当
此时
②当
③
此时
…………7分
综上可知：
（2）
=
=
…9分
要函数的图象恒在直线y=e上方，
即成立，…………10分
，令=0，解得
①当
此时
…………11分
②当
此时
,
故
时可满足题意；…………12分
③
此时
…13分
综上可知：的图象恒在直线y=e上方，…………14分
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=2，点（
）在函数
的图像上，其中
=
.
}是等比数列；
，求
及数列{
}的通项公式；
，求数列{
}的前n项和
，并证明
.
天(
)的销售价格(单位：元)为
，第
，已知该商品成本为每件25元.
关于第
的图像在点
处的切线与直线
平行.
，
满足的关系式；
上恒成立，求
（
）