Question

【题目】设函数，其中.

（1）当时，求函数的反函数；

（2）若，求函数的值域并写出函数的单调区间；

（3）记函数，若函数的最大值为5，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）f﹣1（x）＝log4（x﹣4），x＞4；（2）f（x）的值域为（4，+∞），函数f（x）的单调区间为（﹣∞，+∞）；（3）（﹣∞，].

【解析】

（1）当a＜0时，f（x）＝4x+4，即可解得f﹣1（x）＝log4（x﹣4），x＞4，

（2）设2x＝t，则f（t）＝|t2﹣5t+4|+5t，分段求出函数的值域并判断判断区间，

（3）记函数g（x）（0≤x≤2），设2x＝t，则1≤t≤4，g（t），分类讨论，求出函数的最值即可．

（1）当a＜0时，f（x）＝4x﹣a2x+4+a2x＝4x+4，

∴4x＝y﹣4，y＞4，

∴x＝log4（y﹣4），

∴y＝log4（x﹣4），

∴f﹣1（x）＝log4（x﹣4），x＞4

（2）当a＝5时，f（x）＝|4x﹣52x+4|+52x，

设2x＝t，则4x﹣52x+4＝t2﹣5t+4，且，

当t2﹣5t+4＜0时，解得1＜t＜4，

当t2﹣5t+4≥0时，解得，

∴f（t）＝|t2﹣5t+4|+5t，

当t≥4时，f（t）在（0，1）和（4，+∞）上单调递增，则4＜f（t）≤5或f（t）≥20，

当1＜t＜4时，f（t）＝﹣t2+10t﹣4＝﹣（t﹣5）2+21，

∴f（t）在（1，4）上单调递增，

∴f（1）＜f（t）＜f（4），

∴5＜f（t）＜20，

综上所述f（x）的值域为（4，+∞），函数f（x）的单调区间为（﹣∞，+∞），

（3）记函数g（x）（0≤x≤2），

设2x＝t，则1≤t≤4，

∴g（t），

当a≤0时，g（t），在[1，2]上单调递减，在（2，4]上单调递增，

∴g（t）max＝max{g（1），g（5）}

∵g（1）＝5，g（4）＝5，

∴函数g（t）的最大值为5，

即当a≤0时，满足函数g（x）的最大值为5，

当a＞0时，由t2﹣at+4≥0，即a≤t，

则由（2）可得y＝t，在[1，2]上单调递减，在（2，4]上单调递增，

∴（t）min＝24，

∴当0＜a≤4时，g（t），故可知满足函数g（x）的最大值为5，

当a＞4时，g（t），由于y＝t，在[1，2]上单调递减，在（2，4]上单调递增，∴t，

当a＞5时，g（t）

∵y＝﹣（t），在[1，2]上单调递增，在（2，4]上单调递减，

∴ymax＝﹣（2）+2a＝﹣4+2a＞6，此时不满足函数g（t）的最大值为5，

当4＜a≤5时，，∴，

∴函数g（t）的最大值为，当时，即时，满足最大值为5，

当a＞时，不满足函数g（t）的最大值为5，

综上所述当a∈（﹣∞，]时，函数满足函数g（x）的最大值为5.