Question

【题目】对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”.

（1）已知函数，试判断是否为“类函数”？并说明理由；

（2）设是定义域上的“类函数”，求实数的取值范围；

（3）若为其定义域上的“类函数”，求实数取值范围.

Answer 1

【答案】（1）是，理由见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根据题意，得到，根据三角函数的恒等变换化简，得，得到存在满足，即可作出判定；

（2）根据可化为，令，得到方程在有解可保证是“M类函数”，分离参数，即可求解.

（3）由为其定义域上的“类函数”，得到存在实数使得，根据分段函数的解析式，结合函数的单调性，分类讨论，即可求解.

（1）由题意，函数在定义域内存在实数，满足，

可得，即，

整理得，

所以存在满足

所以函数是“M类函数”.

（2）当时，可化为，

令，则，

从而在有解可保证是“M类函数”，

即在有解可保证是“M类函数”，

设在为单调递增函数，可得函数的最小值为，

所以，即.

（3）由在上恒成立，可得，

因为为其定义域上的“类函数”，

所以存在实数使得，

①当时，则，

所以，所以，即，

因为函数为单调增函数，所以；

②当时，，此时，不成立；

③当，则，所以，所以

因为函数为单调减函数，所以；

综上所述，求实数取值范围.