Question

定义在R上的函数f（x）=

lg|x-4|(x≠4) 1(x=4)

，若关于的方程f²（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实根x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，则f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅）=

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：当x=4时，解得x₁=4，c=-b-1；当x＞4时，解得lg（x-4）=1，x₂=14或lg（x-4）=b，x₃=4+10^b；当x＜4时，解得lg（4-x）=1，x₄=-6或lg（2-x）=b，x₅=4-10^b．从而f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅）=f（4+14+4+10^b-6+4-10^b）=f（20）=lg|20-4|=lg16．

解答： 解：当x=4时，f（x）=1，则由f²（x）+bf（x）+c=0得1+b+c=0．
∴x₁=4，c=-b-1．
当x＞4时，f（x）=lg（x-4），
由f²（x）+bf（x）+c=0，
得[lg（x-4）]²+blg（x-4）-b-1=0，
解得lg（x-4）=1，x₂=14或lg（x-4）=b，x₃=4+10^b．
当x＜4时，f（x）=lg（4-x），
由f²（x）+bf（x）+c=0，得[lg（4-x）]²+blg（4-x）-b-1=0），
解得lg（4-x）=1，x₄=-6或lg（2-x）=b，x₅=4-10^b．
∴f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅）=f（4+14+4+10^b-6+4-10^b）=f（20）=lg|20-4|=lg16．
故答案是：lg16．

点评：本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对数性质和分类讨论思想的合理运用．