Question

（本小题满分14分）  已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小值；

（Ⅱ）比较与e的大小（，e是自然对数的底数）；

（Ⅲ）对于函数和定义域上的任意实数，若存在常数，，使得不等式和都成立，则称直线是函数和的“分界线”．设函数，，试问函数和是否存在“分界线”？若存在，求出常数，的值．若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ），．当时，，是减函数；当时，，是增函数．   2分

在上的极小值也为最小值，且最小值为． 4分

（Ⅱ）据（Ⅰ）知，知当时， ，      6分

故当时，

．

故．      8分

（Ⅲ）令（），则（），当时，， 是减函数；当时，，是增函数．的最小值，

则与的图象在处有公共点．     10分

设函数和存在“分界线”，方程为，有在时恒成立，即在时恒成立，由，得，则“分界线”方程为．      12分

记（），则（），

当时，， 函数是增函数；当时，，函数是减函数．

当时，函数取得最大值，即在时恒成立．

综上所述，函数和存在“分界线”，其中，．       14分