Question

17．已知集合A={x|y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$}，函数f（x）满足：①函数f（x）的定义域为A；②函数f（x）的图象关于原点对称；③当x∈[-2，0）时，f（x）=-（$\frac{1}{2}$）^x+1，函数g（x）=x²-mx+n（m，n∈R）的图象在（1，g（1））处的切线垂直于y轴，若?x₁∈A，?x₂∈A，使得f（x₁）-g（x₂）=0，则n的取值范围为[-5，-2]．

Answer 1

分析 先求的函数f（x）的解析式，可得函数f（x）的值域，再根据在区间[-2，2]上，g（x）的值域包含f（x）的值域[-3，3]，可得g（1）=-1+n≤-3，且g（-2）=8+n≥3，由此求得n的范围．

解答 解：由①可得f（x）的定义域为集合A={x|y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$}=[-2，2]，
由②可得f（x）为奇函数，故有f（0）=0．
设x∈（0，2]，则-x∈[-2，0），
由③可得f（-x）=-${（\frac{1}{2}）}^{-x}$+1=-f（x），∴f（x）=（$\frac{1}{2}$）^-x-1．
综上可得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{-（\frac{1}{2}）}^{x}+1，-2≤x＜0}\\{0，x=0}\\{{（\frac{1}{2}）}^{-x}-1，0＜x≤2}\end{array}\right.$，
故f（x）在R上是减函数，且f（x）∈[-3，3]．
∵函数g（x）=x²-mx+n（m，n∈R）的图象在（1，g（1））处的切线垂直于y轴，
∴g′（1）=2-m=0，即m=2，g（x）=x²-2x+n．
∵?x₁∈A，?x₂∈A，使得f（x₁）-g（x₂）=0，
故在区间[-2，2]上，g（x）的值域包含f（x）的值域[-3，3]，
故g（1）=-1+n≤-3，且g（-2）=8+n≥3，求得-5≤n≤-2，
故答案为：[-5，-2]．

点评 本题主要考查函数的奇偶性，函数的定义域和值域，分段函数的应用，二次函数的性质，属于中档题．