Question

定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，f′（x）是f（x）的导数．函数y=f′（x）的图象如图所示．若两个正数x，y满足f（x+y）＜1，则的取值范围是

1. A.
   （0，1）
2. B.
   [0，1）
3. C.
   [0，+∞）
4. D.
   （1，+∞）

Answer 1

A
分析：由图象得f（x）在R上单调递增，f（x+y）＜1=f（1），可以利用函数的单调性得到0＜x+y＜1，解出0＜y＜1-x，从而解出的取值范围．值得注意的是：本题为选择题，可以利用排除法，解题速度更快，因为x＞0，y＞0，所以≠0，故排除B、C，对于选项D，根据题意令x=，y=，验证一下，即可排除D，故选A．
解答：由图象可以得到，f（x）在R上单调递增，
∵x＞0，y＞0，f（x+y）＜1=f（1），
∴0＜x+y＜1，∴0＜y＜1-x．
即0＜＜=1-＜1，
故选A．
点评：本题比较简单，主要考查利用导数研究函数的单调性这一函数知识．