Question

若函数f（x）=（k-1）x+2在区间（-1，2）上恒有f（x）＞0，则实数k的取值范围为

 

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Answer 1

考点：一次函数的性质与图象

专题：函数的性质及应用

分析：因为f（x）是单调函数，所以只要明确k-1的符号，函数在（-1，2）的最小值大于0即可．

解答： 解：①k=1时，f（x）=2＞0恒成立；
②k＞1时，函数f（x）=（k-1）x+2在区间（-1，2）上为增函数，所以只要f（x）_min＞0，即f（-1）=-1（k-1）+2＞0，解得k＜3；所以实数k的取值范围为1＜k＜3；
③k＜1时，函数f（x）=（k-1）x+2在区间（-1，2）上为减函数，所以只要f（x）_min＞0，即f（2）＞0，解得k＜0，则实数k的取值范围为0＜k＜1；
综上使函数f（x）=（k-1）x+2在区间（-1，2）上恒有f（x）＞0，实数k的取值范围为0＜k＜3；
故答案为：0＜k＜3．

点评：本题考查了一次函数的单调性；一次函数y=kx+b的单调性由一次项系数k确定，k＞0，单调递增；k＜0单调递减．