Question

已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1）、B（0，2）、C（-8，10）
（Ⅰ）若AD是BC边上的高，求向量

AD

的坐标；
（Ⅱ）若点E在AC边上，且S△ABE=

1

3

S△ABC，求点E的坐标．

Answer 1

分析：（I）设D（x，y）然后根据

AD

•

BC

=0，

BC

∥

BD

建立方程组，求出点D的坐标，然后求出向量

AD

；
（II）设E（m，n），利用面积关系S△ABE=

1

3

S△ABC得出AE=

1

3

AC，从而

AE

=

1

3

AC

，再建立等式即可求出m，n．从而得出E点的坐标．

解答：解：（I）设D（x，y），则由

AD ⊥ BC BD ∥ BC

，
且

AD

=（x-4，y-1）（1分）
∵

BC

=（-8，8），

AD

•

BC

=0
∴-8（x-4）+8（y-1）=0，即x-y-3=0      ①（2分）
∵

BD

=（x，y-2），

BC

∥

BD

∴-8（y-2）=8x，即x+y-2=0       ②（2分）
由①②得：

x= 5 2 y= - 1 2

可得D(

5

2

，-

1

2

)，所以

AD

=(-

3

2

，-

3

2

)；
（II）设E（m，n），则S△ABE=

1

3

S△ABC得AE=

1

3

AC，
从而

AE

=

1

3

AC

，
∴（m-4，n-1）=

1

3

（-12，9）

m-4=-4 n-1=3

∴

m=0 n=4

所以E（0，4）．

点评：本题主要考查了向量在几何中的应用，向量垂直、向量平行，同时考查了计算能力，属于中档题．