Question

将函数f(x)=sin

1

4

x•sin

1

4

(x+2π)•sin

1

2

(x+3π)在区间（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a_n}（n∈N*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2ⁿa_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n的表达式．

Answer 1

分析：（1）利用诱导公式将f（x）化简得出f（x）=-

1

4

sinx，根据正弦函数的性质，其极值点为x=kπ+

π

2

(k∈Z)，它在（0，+∞）内的全部极值点构成以

π

2

为首项，π为公差的等差数列．通项公式可求．
（2）由（1）得出bn=2nan=

π

2

(2n-1)•2n，利用错位相消法计算即可．

解答：解：（1）f(x)=sin

1

4

x•sin

1

4

(x+2π)•sin

1

2

(x+3π)
=sin

1

4

x•cos

1

4

x•(-cos

1

2

x)
=

1

2

•sin

1

2

x•(-cos

1

2

x)
=-

1

4

sinx
根据正弦函数的性质，
其极值点为x=kπ+

π

2

(k∈Z)，
它在（0，+∞）内的全部极值点构成以

π

2

为首项，π为公差的等差数列，
数列{a_n}的通项公式为
 an=

π

2

+(n-1)•π=

2n-1

2

π(n∈N*)．（6分）
（2）由（1）得出bn=2nan=

π

2

(2n-1)•2n（8分）
∴Tn=

π

2

[1•2+3•22+…+(2n-3)•2n-1+(2n-1)•2n]，两边乘以2得，
2Tn=

π

2

[1•22+3•23+…+(2n-3)•2n+(2n-1)•2n+1]
两式相减，得-Tn=

π

2

[1•2+2•22+2•23+…+2•2n-(2n-1)•2n+1]
=

π

2

[2+

8(1-2n-1)

1-2

-(2n-1)• 2n+1]
=

π

2

[-6+(3-2n)2n+1]
=-π[（2n-3）•2ⁿ+3]
∴T_n=π[（2n-3）•2ⁿ+3]（12分）

点评：本题考查了三角函数式的恒等变形、三角函数的性质，等差数列通项公式求解，以及数列求和中的错位相消法．