Question

将函数f(x)=sin

3

4

xsin

3

4

(x+2π)sin

3

2

(x+3π)在区间（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a_n}．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=sina_n•sina_n+1•sina_n+2，求数列{a_n•b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）先利用三角函数的诱导公式及二倍角公式化简函数f（x），令3x=kπ+

π

2

的极值点，判断出全部极值点按从小到大排列构成以

π

6

为首项，

π

3

为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式求出通项．
（2）利用b_n=sina_n•sina_n+1•sina_n+2，求出b_n+1作商，利用等比数列的定义判断出{b_n}是以

1

4

为首项，-1为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式求出通项，进一步求出数列{a_n•b_n}的通项，利用错位相减法求出前n项的和．

解答：解：（1）∵f(x)=sin

3

4

x•sin(

3

4

x+

3

2

π)•sin(

3

2

x+

9

2

π) 
=sin

3

4

x•(-cos

3

4

x)•cos

3

2

x=-

1

2

sin

3

2

x•cos

3

2

x=-

1

4

sin3x．
令3x=kπ+

π

2

解得x=

kπ

3

+

π

6

，k∈Z，
所以f（x）的极值点为x=

kπ

3

+

π

6

，k∈Z，
从而它在区间（0，+∞）内的全部极值点按从小到大排列构成以

π

6

为首项，

π

3

为公差的等差数列，
∴an=

π

6

+(n-1)•

π

3

=

2n-1

6

π．
（2）由an=

2n-1

6

π知对任意正整数n，a_n都不是π的整数倍，
所以sina_n≠0，
从而b_n=sina_nsina_n+1sina_n+2≠0，
于是

bn+1

bn

=

sinan+1sinan+2sinan+3

sinansinan+1sinan+2

=

sinan+3

sinan

=

sin(an+π)

sinan

=-1，b1=sin

π

6

•sin

π

2

•sin

5π

6

=

1

4

，
∴{b_n}是以

1

4

为首项，-1为公比的等比数列，
∴bn=

(-1)n-1

4

．
∴an•bn=

π

24

•(-1)n-1(2n-1)，
Sn=

π

24

(1×1+3×(-1)+5×1+…(2n-1)•（-1）^n-1）
所以-Sn=

π

24

(×(-1)+3×1+…(2n-3)•(-1)n-1+•（2n-1）（-1）ⁿ）
两式相减得，
数列{a_n•b_n}的前n项和为Sn=

nπ

24

•(-1)n-1．

点评：求一个数列的前n项和的方法应该先求出数列的通项，然后按照通项的特点选择合适的求和方法．