题目内容
已知向量
=（sinx，
），
=（
Acosx，
cos2x）（A＞0），函数f（x）=
•
的最大值为6．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求y=g（x）在[0，
]上的值域．
| m |
| 3 |
| 2 |
| n |
| 3 |
| A |
| 3 |
| m |
| n |
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移
| π |
| 12 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 4 |
分析：（Ⅰ）利用向量的数量积的坐标运算及倍角公式可求得f（x）=Asin（2x+
），依题意即可求得A；
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求得g（x）=6sin（4x+
），再利用正弦函数的单调性即可求得y=g（x）在[0，
]上的值域．
| π |
| 6 |
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求得g（x）=6sin（4x+
| π |
| 3 |
| π |
| 4 |
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=
•
=
Asinxcosx+
cos2x
=A（
sin2x+
cos2x）
=Asin（2x+
），
因为A＞0，函数f（x）=
•
的最大值为6，
∴A=6．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=6sin（2x+
），将函数y=f（x）的图象向左平移
个单位后得到y=6sin[2（x+
）+
]=6sin（2x+
）的图象；
再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的
倍（纵坐标不变），得到y=6sin（4x+
）的图象，
∴g（x）=6sin（4x+
）．
∵x∈[0，
]，
∴4x+
∈[
，
]．
∴g（x）在[0，
]上的值域为[-3
，6]．
| m |
| n |
| 3 |
| A |
| 2 |
=A（
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=Asin（2x+
| π |
| 6 |
因为A＞0，函数f（x）=
| m |
| n |
∴A=6．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=6sin（2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
∴g（x）=6sin（4x+
| π |
| 3 |
∵x∈[0，
| π |
| 4 |
∴4x+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
∴g（x）在[0，
| π |
| 4 |
| 3 |
点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，着重考查三角函数中的恒等变换应用、考查平面向量数量积的坐标运算，属于中档题．
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+
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