题目内容
已知向量
=（sinωx，1），
=（
Acosωx，
cos2ωx）（A＞0，ω＞0），函数f（x）=
•
的最大值为3，且其图象相邻两条对称轴之间的距离为π．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）将函数y=f（x）的图象向左平移
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．
（1）求函数g（x）的单调递减区间；
（2）求函数g（x）在[
，
]上的值域．
| m |
| n |
| 3 |
| A |
| 2 |
| m |
| n |
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）将函数y=f（x）的图象向左平移
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
（1）求函数g（x）的单调递减区间；
（2）求函数g（x）在[
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
分析：（I）利用两个向量的数量积的定义、三角函数的恒等变换，化简函数f（x）的解析式为Asin（2ωx+
），由最大值求得A，由周期求出ω，从而确定函数f（x）的解析式．
（II）根据y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律 求出函数g（x）=3sin（2x+
）．（1）由2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
，求得x的范围，即可求得g（x）的单调递减区间．
（2）当x的范围，求得2x+
的范围，可得sin（2x+
）的范围，从而求得g（x）的范围．
| π |
| 6 |
（II）根据y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律 求出函数g（x）=3sin（2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
（2）当x的范围，求得2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
解答：解：（I）函数f（x）=
•
=
Asinωxcosωx+
cos2ωx=A（
sinωxcosωx+
cos2ωx）=Asin（2ωx+
），…（3分）
因为函数f（x）的最大值为3，且其图象相邻两条对称轴之间的距离为π，
所以A=3，函数的周期T=2π，又 T=
，所以ω=
． …（5分）
所以 f（x）=3sin（x+
）． …（6分）
（II）将函数y=f（x）的图象向左平移
个单位，得到函数 y=3sin[（x+
）+
]的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数g（x）=3sin（2x+
）的图象． …（8分）
（1）因为函数y=sinx 的单调递减区间为[2kπ+
，2kπ+
]，（k∈z ），
所以 2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
，解得 kπ+
≤x≤kπ+
，
所以函数g（x）的单调递减区间为[kπ+
，kπ+
]，（k∈z）．…（11分）
（2）当x∈[
，
]时，2x+
∈[
，
]，sin（2x+
）∈[-
，
]，g（x）∈[-
，
]．
所以函数g（x）在[
，
]上的值域为[-
，
]． …（14分）
| m |
| n |
| 3 |
| A |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
因为函数f（x）的最大值为3，且其图象相邻两条对称轴之间的距离为π，
所以A=3，函数的周期T=2π，又 T=
| 2π |
| ω |
| 1 |
| 2 |
所以 f（x）=3sin（x+
| π |
| 6 |
（II）将函数y=f（x）的图象向左平移
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
（1）因为函数y=sinx 的单调递减区间为[2kπ+
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
所以 2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
所以函数g（x）的单调递减区间为[kπ+
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
（2）当x∈[
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
| 4π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
3
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
所以函数g（x）在[
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
3
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，三角函数的恒等变换及化简求值，y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域、单调性，属于中档题．
练习册系列答案
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-sinθ,cosθ),θ∈(π,2π),且|m+n|=
,求cos(
+
)的值.