题目内容
已知向量m=（sinωx，cosωx），n=（cosωx，
cosωx）且0＜ω＜2，函数f（x）=m•n，且f（
）=
．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y=g（x）的图象向右平移
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
，得到函数y=f（x）的图象，求函数g（x）的解析式及其在[-
，
]上的值域．
| 3 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y=g（x）的图象向右平移
| π |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
分析：（Ⅰ）由f（x）=
•
可求得f（x）=sin（2ωx+
）+
，f（
）=
，可求得sin（
+
）=0，从而可求得ω；
（Ⅱ）依题意，转化为将y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，再将得到的y=sin（
+
）+
的图象向左平移
个单位得到函数g（x）的图象，从而得到g（x）的解析式，利用余弦函数的性质可求得其在[-
，
]上的值域．
| m |
| n |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 2πω |
| 3 |
| π |
| 3 |
（Ⅱ）依题意，转化为将y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，再将得到的y=sin（
| x |
| 2 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
解答：解：（Ⅰ）由f（x）=
•
=sinωxcosωx+
cos2ωx=
sin2ωx+
cos2ωx+
=sin（2ωx+
）+
，…3分
∵f（
）=
，则sin（
+
）=0，
∴
+
=kπ，k∈Z，
∴ω=
k-
，k∈Z，又0＜ω＜2，
∴k=1，故ω=1…6分
（Ⅱ）由题意知，将函数y=g（x）的图象向右平移
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
，得到函数y=f（x）的图象?将y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，再将得到的y=sin（
+
）+
的图象向左平移
个单位得到函数g（x）的图象，因此g（x）=sin（
+
）+
=cos
+
，…9分
∵
∈[-
，
]，
∴
≤cos
≤1，
故g（x）在[-
，
]上的值域为[
，1+
]…12分
| m |
| n |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
=sin（2ωx+
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
∵f（
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 2πω |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴
| 2πω |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴ω=
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴k=1，故ω=1…6分
（Ⅱ）由题意知，将函数y=g（x）的图象向右平移
| π |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| x |
| 2 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
| x |
| 2 |
| π |
| 2 |
| ||
| 2 |
| x |
| 2 |
| ||
| 2 |
∵
| x |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
∴
| ||
| 2 |
| x |
| 2 |
故g（x）在[-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| ||
| 2 |
点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查余弦函数的性质，是三角函数中的综合题，属于难题．
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-sinθ,cosθ),θ∈(π,2π),且|m+n|=
,求cos(
+
)的值.