Question

已知向量

m

=（sinθ，2cosθ），

n

=（

3

，-

1

2

）
（Ⅰ）当θ∈[0，π]时，求函数f（θ）=

m

×

n

的值域；
（Ⅱ）若

m

∥

n

，求sin2θ的值．

Answer 1

分析：（1）先根据向量数量积的定义表示出函数f（θ），然后化简为y=Asin（wx+ρ）的形式你，再根据θ的范围和正弦函数的性质得到答案．
（2）先根据两向量平行的坐标关系得到θ的正切值，再用二倍角公式化简sin2θ，再构造出tanθ的关系可解题．

解答：解：（Ⅰ）由f（θ）=

m

×

n

得，
f(θ)=

3

sinθ-cosθ=2sin(θ-

π

6

)
∵θ∈[0，π]，θ-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]
∴f（θ）的值域为[-1，2]；
（Ⅱ）∵

m

∥

n

，∴-

1

2

sinθ=2

3

cosθ，∴tanθ=-4

3

∴sin2θ=

2sinθcosθ

sin2θ+cos2θ

=

2tanθ

tan2θ+1

=-

8 3

49

．

点评：本题主要考查向量数量积的坐标表示和三角函数的二倍角公式．在高考中向量和三角函数的综合题是热点问题，要给予重视．