Question

【题目】记无穷数列的前n项中最大值为，最小值为，令，数列的前n项和为，数列的前n项和为．

（1）若数列是首项为2，公比为2的等比数列，求；

（2）若数列是等差数列，试问数列是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明；

（3）若，求．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3），

【解析】

（1）由题意求得和，即得，利用等比数列求和公式可得结果.

（2）若“数列{bn}是等差数列”，设其公差为d′，bn+1﹣bnd′，根据定义，Mn+1≥Mn，mn+1≤mn，至少有一个取等号，当d′＞0时，Mn+1＞Mn，an+1＝Mn+1＞Mn≥an，即数列{an}为增数列，则Mn＝an，mn＝a1，进而得出．同理可得d′＜0时，“数列{an}是等差数列”；当d′＝0时，Mn+1＝Mn，且mn+1＝mn，故{an}为常数列，是等差数列．

（3）由题意可得，根据定义可以分析得到当时，，即得；同理可得时，．，

所以当时，， 得到 可得，求得

；当时， 得到，求得，分段写出结果即可.

（1）∵数列是首项为2，公比为2的等比数列，∴，∴，

则，∴

（2）若数列是等差数列，设其公差为

∵

根据，的定义，有以下结论：

，，且两个不等式中至少有一个取等号，

①若，则必有，∴，即对，，都有

∴，，

∴，即为等差数列；

②当时，则必有，所以，即对，，都有

∴，，

所以，即为等差数列；

③当，

∵，中必有一个为0，∴根据上式，一个为0，则另一个亦为0，

即，，∴为常数数列，所以为等差数列，

综上，数列也一定是等差数列．

（3）∵，

∴当时，，即，当时，，即．

以下证明：，

当时，

若，则，，所以，不合题意；

若，则，，则，得：，与矛盾，不合题意；

∴，即；

同理可证：，即，时，．

①当时，， ∴ ∴，

∵ ∴

∴

②当时，，且

∴，则为或．若为，则为常数，与题意不符，∴ ∴ ∴

∴ ，

∴，.