Question

【题目】如图，将边长为2的正方形沿对角线折叠，使得平面平面，又平面.

（1）若，求直线与直线所成的角；

（2）若二面角的大小为，求的长度．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由题意可知，AB⊥AD, AE⊥平面ABD，以A为原点，AB、AD、AE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，作，垂足为，可得，得到C点坐标，利用向量法能求得，即可得到所求角．

（2）设的长度为，则，由题意知平面，可得平面的一个法向量为，再求得平面的法向量为， ，解得a即可.

∵正方形边长为2 ∴，，

又平面，∴以点为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．

作，垂足为，∵平面平面，平面，平面平面，∴平面∵ ∴点为的中点，，

（1）∵

∴，，，，

∴， ∴

∴ ∴直线与直线所成角为；

（2）设的长度为，则

∵平面 ∴平面的一个法向量为

设平面的法向量为，又，

∴， ∴，解得：，取，则，

∴平面的一个法向量为

∴

∵二面角的大小为 ∴，解得：

∴的长度为．