题目内容
已知数列{an}满足：a1+a2+a3+…+an=n-an，（n=1，2，3，…）
（Ⅰ）求证：数列{an-1}是等比数列；
（Ⅱ）令bn=（2-n）（an-1）（n=1，2，3，…），如果对任意n∈N*，都有bn+
t≤t2，求实数t的取值范围．
（Ⅰ）证明：由题可知：a1+a2+a3+…+an=n-an，①
a1+a2+a3+…+an+1=n+1-an+1，②
②-①可得2an+1-an=1 …..（3分）
即：an+1-1=
（an-1），又a1-1=-…..（5分）
所以数列{an-1是以-为首项，以为公比的等比数列…．…..（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得an=1-
，…（7分）
∴bn=（2-n）（an-1）=
…（8分）
由bn+1-bn=
-=
＞0可得n＜3
由bn+1-bn＜0可得n＞3 …（9分）
所以b1＜b2＜b3=b4，b4＞b5＞…＞bn＞…
故bn有最大值b3=b4=
所以，对任意n∈N*，都有bn+t≤t2，等价于对任意n∈N*，都有≤t2-t成立…（13分）
所以t2-t-≥0
解得t≥或t≤-
所以，实数t的取值范围是（-∞，
]∪[，+∞） …（14分）
分析：（Ⅰ）利用a1+a2+a3+…+an=n-an，再写一式，两式相减，整理可得数列{an-1是以-为首项，以为公比的等比数列；（Ⅱ）先确定bn=（2-n）（an-1）=，再利用bn+1-bn，确定bn有最大值b3=b4=，从而对任意n∈N*，都有bn+t≤t2，等价于对任意n∈N*，都有≤t2-t成立，由此可求实数t的取值范围．
点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查恒成立问题，确定数列的通项，求出数列的最大值是解题的关键．
a1+a2+a3+…+an+1=n+1-an+1，②
②-①可得2an+1-an=1 …..（3分）
即：an+1-1=
（an-1），又a1-1=-…..（5分）所以数列{an-1是以-
为首项，以为公比的等比数列…．…..（6分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得an=1-
，…（7分）∴bn=（2-n）（an-1）=
…（8分）由bn+1-bn=
-=＞0可得n＜3由bn+1-bn＜0可得n＞3 …（9分）
所以b1＜b2＜b3=b4，b4＞b5＞…＞bn＞…
故bn有最大值b3=b4=
所以，对任意n∈N*，都有bn+
t≤t2，等价于对任意n∈N*，都有≤t2-t成立…（13分）所以t2-
t-≥0解得t≥
或t≤-所以，实数t的取值范围是（-∞，
]∪[，+∞） …（14分）分析：（Ⅰ）利用a1+a2+a3+…+an=n-an，再写一式，两式相减，整理可得数列{an-1是以-
为首项，以为公比的等比数列；（Ⅱ）先确定bn=（2-n）（an-1）=，再利用bn+1-bn，确定bn有最大值b3=b4=，从而对任意n∈N*，都有bn+t≤t2，等价于对任意n∈N*，都有≤t2-t成立，由此可求实数t的取值范围．点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查恒成立问题，确定数列的通项，求出数列的最大值是解题的关键．
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