Question

设函数f（x）=|x-

4

m

|+|x+m|（m＞0）
（1）证明：f（x）≥4；
（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．

Answer 1

考点：带绝对值的函数

专题：计算题,证明题,不等式的解法及应用

分析：（1）运用绝对值不等式的性质：绝对值的和不小于差的绝对值，利用基本不等式即可证得结论．
（2）若f（2）＞5，即|2-

4

m

|+|2+m|＞5，即有|2-

4

m

|＞3-m，即2-

4

m

＞3-m或2-

4

m

＜m-3．转化为二次不等式，解出即可，注意m＞0．

解答： （1）证明：∵f（x）=|x-

4

m

|+|x+m|≥|（x-

4

m

）-（x+m）|
=|-

m

4

-m|=

4

m

+m（m＞0）
又m＞0，则

4

m

+m≥4，当且仅当m=2取最小值4．
∴f（x）≥4；
（2）解：若f（2）＞5，即|2-

4

m

|+|2+m|＞5，
即有|2-

4

m

|＞3-m，
即2-

4

m

＞3-m或2-

4

m

＜m-3．
由于m＞0，则m²-m-4＞0或m²-5m+4＞0，
解得m＞

1+ 17

2

或m＞4或0＜m＜1．
故m的取值范围是（

1+ 17

2

，+∞）∪（0，1）．

点评：本题考查绝对值函数的最值，注意去绝对值的方法，考查基本不等式的运用，以及绝对值不等式的解法和二次不等式的解法，属于中档题．