Question

（2009•武汉模拟）（文科做）已知数列{a_n}满足递推式：a_n-a_n-1=2n-1，（n≥2，n∈N）且a₁=1．
（1）求a₂，a₃；        
（2）求a_n；       
（3）若b_n=（-1）ⁿa_n，求数列{b_n}的前n项之和T_n．

Answer 1

分析：（1）由a₂-a₁=2×1+1=3，知a₂=4，再由a₃-a₁=2×2+1=5，能求出a₃．
（2）由a_n-a_n-1=2n-1，用累加法能求出a_n．
（3）由bn=(-1)n•

(n+1)n+n(n-1)

2

=(-1)n•

(n+1)n

2

-(-1)n-1

n(n-1)

2

，记f(n)=(-1)n

(n+1)n

2

，则b_n=f（n）-f（n-1）（n≥2），再由b₁=f（1），能求出T_n．

解答：解：（1）∵a₂-a₁=2×1+1=3，
∴a₂=4，
又a₃-a₁=2×2+1=5，
∴a₃=9．
（2）由a_n-a_n-1=2n-1，
知a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=1+3+5+…+（2n-1）=n²．
（3）∵bn=(-1)n•

(n+1)n+n(n-1)

2

=(-1)n•

(n+1)n

2

-(-1)n-1

n(n-1)

2

．
记f(n)=(-1)n

(n+1)n

2

，
则b_n=f（n）-f（n-1）（n≥2），
又b₁=f（1），
∴T_n=（f（n）-f（n-1））+…+（f（2）-f（1））+f（1）
=(-1)n

(n+1)n

2

-(-1)1

2(2-1)

2

+f(1)
=(-1)n

(n+1)n

2

，
∴Tn=(-1)n•

(n+1)n

2

．

点评：本题考查数列知识的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数列递推式的灵活运用．