题目内容
（2009•武汉模拟）（文科做） 如图，在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中M、N、P、Q分别为AD，CD，BB1，C1D1的中点（1）求点P到平面MNQ的距离；
（2）求直线PN与平面MPQ所成角的正弦值．
分析：（1）根据PB∥平面MNQ，则P到平面MNQ的距离即为B到平面MNQ的距离，在平面ABCD中，连接BD则BD⊥MN，求出点B到MN的距离即可求出所求；
（2）设N到MPQ之距为d，然后利用利用等体积法求出d，从而可求出PN与平面MPQ所成角θ的正弦值．
（2）设N到MPQ之距为d，然后利用利用等体积法求出d，从而可求出PN与平面MPQ所成角θ的正弦值．
解答：解：（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别为AD、DC、BB1、C1D1中点
∵PB∥QN即PB∥平面MNQ，∴P到平面MNQ的距离即B到平面MNQ的距离．
在平面ABCD中，连接BD则BD⊥MN，故B到MN之距为
•
=
，
因此P到平面MNQ的距离为
．
（2）在四面体N-MPQ中，Vp-MNQ=
•(
•
a•a)•
=
，又底面三角形MPQ是正三角形，MQ=PQ=MP=
a S△MPQ=
(
a)2=
a2，
设N到MPQ之距为d
Vn-MPQ=
•S△MPQ•d=
•
a2•d=
，
∴d=
PN=
a．
故PN与平面MPQ所成角θ的正弦值sinθ=
=
．
∵PB∥QN即PB∥平面MNQ，∴P到平面MNQ的距离即B到平面MNQ的距离．
在平面ABCD中，连接BD则BD⊥MN，故B到MN之距为
| 3 |
| 4 |
| 2a |
3
| ||
| 4 |
因此P到平面MNQ的距离为
3
| ||
| 4 |
（2）在四面体N-MPQ中，Vp-MNQ=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
3
| ||
| 4 |
| a3 |
| 8 |
| ||
| 2 |
| ||
| 4 |
| ||
| 2 |
3
| ||
| 8 |
设N到MPQ之距为d
Vn-MPQ=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
3
| ||
| 8 |
| a3 |
| 8 |
∴d=
| a | ||
|
|
故PN与平面MPQ所成角θ的正弦值sinθ=
| ||||
|
| ||
| 3 |
点评：本题主要考查了直线与平面所成的角，以及点、线、面间的距离计算，属于中档题．
练习册系列答案
心算口算巧算一课一练系列答案
相关题目