Question

已知函数f（x）=cos²x-2acosx
（1）求函数的最小值m（a）．
（2）A={x|f(x)＞0，且x∈[0，

π

2

]}，若A≠φ，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由于f（x）=（cosx-a）²-a²，对a分a＜-1，-1≤a≤1，a＞1三类讨论，即可求得函数的最小值m（a）；
（2）依题意，可转化为求A={x|f（x）＞0，x∈[0，

π

2

]}=∅中的a的取值范围，对应即可得到所求的实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=cos²x-2acosx
=（cosx-a）²-a²，
当a＜-1时，cosx=-1，f（x）取得最小值1+2a，即m（a）=1+2a；
当-1≤a≤1时，cosx=a，f（x）取得最小值-a²，即m（a）=-a²；
当a＞1时，cosx=1，f（x）取得最小值1-2a，即m（a）=1-2a；
∴m（a）=

1-2a，a＜-1 -a2，-1≤a≤1 1-2a，a＞1

．
（2）∵x∈[0，

π

2

]，
∴0≤cosx≤1，
设当x∈[0，

π

2

]时，f（x）=cos²x-2acosx≤0恒成立?a≥

1

2

cosx（0≤cosx≤1）恒成立，
∴a≥(

1

2

cosx)max=

1

2

，
∵A={x|f（x）＞0，x∈[0，

π

2

]}≠∅，
∴a＜

1

2

．
即实数a的取值范围为（-∞，

1

2

）．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查二次函数的单调性与最值，突出考查转化思想与恒成立问题，属于难题．