题目内容

精英家教网如图直角三角形ABC中，|CA|=|CB|，|AB|=3，点E1，F分别在CA、CB上，EF∥AB，|AE|=
2
，则
AF
•
BE
=
 
．
分析：根据等腰Rt△ABC的斜边|AB|=3，算出|CA|=|CB|=
3
2
2
．由|AE|=
2
且EF∥AB，可得
AE
=
2
3
AC
且
BF
=
2
3
BC
，利用向量加法法则得到
AF
=
AB
+
2
3
BC
且
BE
=
BA
+
2
3
AC
．由此可得
AF
•
BE
=（
AB
+
2
3
BC
）•（
BA
+
2
3
AC
）=-
AB
2+
2
3
AB
•
AC
-
2
3
AB
•
BC
+
4
9
BC
•
AC
，再根据向量的数量积公式分别算出
BC
•
AC
、
AB
2、
AB
•
AC
与
AB
•
BC
的值，代入前面的式子算出
AF
•
BE
=-3，从而得到答案．
解答：解：精英家教网∵Rt△ABC中，|CA|=|CB|，|AB|=3，
∴|CA|2+|CB|2=|AB|2=9，可得|CA|2=|CB|2=
9
2
，|CA|=|CB|=
3
2
2
．
而AC上的点E满足|AE|=
2
，可得|AE|=
2
3
|AC|．
又∵点E、F分别在CA、CB上，EF∥AB，
∴
|AE|
|AC|
=
|BF|
|BC|
=
2
3
，可得
BF
=
2
3
BC
，
由此可得
AF
=
AB
+
BF
=
AB
+
2
3
BC
，同理可得
BE
=
BA
+
2
3
AC
．
∴
AF
•
BE
=（
AB
+
2
3
BC
）•（
BA
+
2
3
AC
）=（
AB
+
2
3
BC
）•（-
AB
+
2
3
AC
）
=-
AB
2+
2
3
AB
•
AC
-
2
3
AB
•
BC
+
4
9
BC
•
AC

∵
BC
⊥
AC
，∠CAB=∠CBA=45°，|CA|=|CB|=
3
2
2
，|AB|=3，
∴
BC
•
AC
=0，
AB
2=
|AB|
2=9，
AB
•
AC
=|
AB
|•|
AC
|cos45°=3×
3
2
2
×
2
2
=
9
2
，
AB
•
BC
=|
AB
|•|
BC
|cos135°=3×
3
2
2
×（-
2
2
）=-
9
2
．
因此，
AF
•
BE
=-
AB
2+
2
3
AB
•
AC
-
2
3
AB
•
BC
+
4
9
BC
•
AC
=-9+
2
3
×
9
2
-
2
3
×（-
9
2
）+
4
9
×0=-3．
故答案为：-3
点评：本题在等腰直角三角形中求向量的数量积，着重考查了等腰直角三角形的性质、向量的线性运算性质、向量的数量积及其运算性质等知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
如图，三角形ABC是直角三角形，C=90°，边AC、BC的中点分别是E、D，若
CA
=
a
，
CB
=
b
，且|
a
|=|
b
|=2.0
（1）分别用向量
a
、
b
表示
AD
和
BE
；
（2）计算AD、BE所成钝角的大小（结果用反三角函数表示）．

如图，三角形ABC是直角三角形，C=90°，边AC、BC的中点分别是E、D，若数学公式，数学公式，且数学公式=2.0
（1）分别用向量数学公式、数学公式表示数学公式和数学公式；
（2）计算AD、BE所成钝角的大小（结果用反三角函数表示）．
如图，三角形ABC是直角三角形，C=90°，边AC、BC的中点分别是E、D，若
CA
=
a
，
CB
=
b
，且|
a
|=|
b
|=2.0
（1）分别用向量
a
、
b
表示
AD
和
BE
；
（2）计算AD、BE所成钝角的大小（结果用反三角函数表示）．
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如图,直角三角形BCD所在的平面垂直于正三角形ABC所在的平面,其中,平面ABC, DC=BC=2PA , E．F分别为DB．CB的中点．（1）证明：AEBC；

（2）求直线PF与平面BCD所成的角．

 

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