Question

12．在区间[m，n]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意的x∈[m，n]，均有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[m，n]上是“接近“的，否则称f（x）与g（x）在[m，n]上是“非接近”的．现有f（x）=log_a（x+2），g（x）=log_a$\frac{1}{x+1}$（其中a＞1），试讨论f（x）与g（x）在给区间[0，1]上是否是接近？

Answer 1

分析 由x的范围求出|f（x）-g（x）|的范围，由其最大值小于等于1求得a的范围，可得当1＜a＜6时，f（x）与g（x）在给区间[0，1]上是“非接近”的；当a≥6时，f（x）与g（x）在给区间[0，1]上是“接近”的．

解答 解：|f（x）-g（x）|=|log_a（x+2）-log_a$\frac{1}{x+1}$|=|log_a（x+1）（x+2）|．
令t=（x+1）（x+2）．
当x∈[0，1]时，t∈[2，6]．
∵a＞1，∴|log_a（x+1）（x+2）|=|log_at|=log_at∈[log_a2，log_a6]．
由log_a6≤1，得a≥6．
∴当1＜a＜6时，f（x）与g（x）在给区间[0，1]上是“非接近”的；
当a≥6时，f（x）与g（x）在给区间[0，1]上是“接近”的．

点评 本题考查对数函数的性质和应用，对题意的理解是解答该题的关键，属中档题．