Question

如图,三棱锥P—ABC中，PB⊥底面ABC，∠BAC=90°，PB=AB=AC=4，点E是PA的中点.

(1)求证：AC⊥平面PAB；

(2)求异面直线BE与AC的距离；?

(3)求直线PA与平面PBC所成的角的大小.

Answer 1

解法一:（1）证明：三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC,∠BAC=90°,∴PB⊥AC,BA⊥AC.

∵PB∩BA=B, ∴AC⊥平面PAB.

（2）解：∵PB=PA=4,点E是PA的中点，∴BE⊥EA.又∵EA平面PAB,

由(1)知AC⊥EA,∴EA是异面直线BE，AC的公垂线段.

∵PB⊥AB,∴△PBA为直角三角形.∴EA=PA=×4=2.

∴异面直线BE与AC的距离为2.

（3）解：取BC中点D，连结AD,PD,

∵AB=AC=4,∠BAC=90°, ∴BC⊥AD,AD=2.

∵PB⊥底面ABC,AD底面ABC,∴PB⊥AD.

∵PB∩BC=B,∴AD⊥平面PBC.∴PD为PA的平面PBC内的射影.

∴∠APD为PA与平面PBC所成角.

在Rt△ADP中，sin∠APD==,∴∠APD=30°. ∴PA与平面PBC所成角大小为30°.

解法二:（1）同解法一.

（2）同解法一.

（3）解：过点A作AD∥PB,则AD⊥平面ABC,

如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(-4,0,0),C(0,4,0),P(-4,0,4).

∴=(4,4,-4),=(4,4,0).

设平面PBC的法向量n=(1,,),

∵∴∴∴n=(1,-1,0).

=(4,0,-4),设直线PA与平面PBC所成角为.

sin=cos〈,n〉==.

∴直线PA与平PBC所成角的大小为30°.