Question

如图在三棱锥P-ABC中，AB⊥PC，AC=2，BC=4，AB=2

3

，∠PCA=30°．
（1）求证：AB⊥平面PAC． （2）设二面角A-PC-B•的大小为θ•，求tanθ•的值．

Answer 1

分析：（1）在平面PAC内找到并且证明两条相交直线分别与已知直线垂直，即可得到线面垂直．
（2）根据二面角的定义作出二面角，并且证明此角是所求角，然后结合解三角形的有关知识求解答案．

解答：解：（1）在△ABC中因为AC=2，BC=4，AB=2

3

，
所以根据勾可得∠BAC=90°即AB⊥AC．
又因为AB⊥PC，PC∩AC=C，PC?平面ACP，AC?平面ACP，
所以AB⊥平面PAC．
（2）过点A作AD⊥PC，角PC与点D，连接BD．
因为AB⊥平面PAC，PC?平面PAC，
所以PC⊥AB．
又因为AD⊥PC，AD?平面ABD，AD?平面ABD，AD∩AB=A，
所以PC⊥平面ABD，所以PC⊥BD．
所以∠BDA是二面角A-PC-B的平面角，即∠BDA=θ．
在△ADC中，AC=2，∠ACD=30°，∠ADC=90°，所以AD=1．
在△ABD中，AB=2

3

，AD=1，
所以tanθ=

AB

AD

=2

3

．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，利用题中线面关系证明线面垂直并且有利于求解二面角的平面角．