Question

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝,OA⊥底面ABCD，OA=2,M为OA的中点.

（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；

（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离.

Answer 1

本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、异面直线所成角及点到平面的距离等知识，考查空间想象能力和思维能力，用综合法或向量法解决立体几何问题的能力.

方法一（综合法）

（1）

    为异面直线与所成的角（或其补角）

              作连接

             

          

         ，

                所以 与所成角的大小为

（２）点A和点B到平面OCD的距离相等，

连接OP,过点A作 于点Q，

           又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离

     ，

                ，所以点B到平面OCD的距离为.

方法二(向量法)

作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立直角坐标系

,

(1)设与所成的角为,

   ,

与所成角的大小为

(2)

设平面OCD的法向量为,则

得

取,解得

设点B到平面OCD的距离为,则为在向量n上的投影的绝对值,

      , .

所以点B到平面OCD的距离为