Question

已知函数．
（1）当时，判断并证明函数f（x）在[1，+∞）上的单调性；
（2）如果对任意x∈[1，+∞），有f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）当时，当x∈[1，+∞）时，f′（x）＞0，从而函数f（x）在[1，+∞）上的单调增；
（2），则x²+2x+a＞0，即（x+1）²+a-1＞0（y=（x+1）²+a-1是增函数，所以取1时，有最小值）所以4＞1-a，解得a＞-3．
分析：（1）当时，，从而有当x∈[1，+∞）时，f′（x）＞0，故可判断；
（2），则问题等价于x²+2x+a＞0，即（x+1）²+a-1＞0（y=（x+1）²+a-1是增函数，所以取1时，有最小值）所以min （x+1）²=4＞1-a（min （x+1）²是说（x+1）²的最小值），故可解．
点评：本题主要考查利用导数判断与证明函数的单调性，同时考查最值法研究函数恒成立问题．