题目内容
17．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ．从极点作圆C的弦，记各条弦中点的轨迹为曲线C1．（1）求C1的极坐标方程；
（2）已知曲线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$，（0≤α＜π，t为参数，且t≠0），l与C交于点A，l与C1交于点B，且|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{3}$，求α的值．
分析 （1）由圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ．从极点作圆C的弦，设各条弦中点M（ρ，θ）．则（2ρ，θ）在圆C上，代入即可C1的极坐标方程．
（2）曲线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$，（0≤α＜π，t为参数，且t≠0），化为y=xtanα．由题意可得：|OA|=ρ1=4sinα，|OB|=ρ2=2sinα，利用|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{3}$，即可得出．
解答 解：（1）由圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ．
从极点作圆C的弦，设各条弦中点M（ρ，θ）．
则（2ρ，θ）在圆C上，
∴C1的极坐标方程为2ρ=4sinθ，
可得ρ=2sinθ．
（2）曲线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$，（0≤α＜π，t为参数，且t≠0），化为y=xtanα．
由题意可得：|OA|=ρ1=4sinα，|OB|=ρ2=2sinα，
∵|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{3}$，
∴|OA|-|OB|=2sinα=$\sqrt{3}$，即sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
又0≤α＜π，
∴$α=\frac{π}{3}$，或α=$\frac{2π}{3}$．
点评 本题考查了直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为普通方程、两点之间的距离、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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