Question

5．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=3\sqrt{3}cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），以原点O为起点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P的极坐标为（2，-$\frac{π}{3}$），直线l的极坐  标方程为ρcos（$\frac{π}{3}$+θ）=6．
（Ⅰ）求点P到直线l的距离；
（Ⅱ）设点Q在曲线C上，求点Q到直线l的距离的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把点P与直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可得出．
（Ⅱ）可以判断，直线l与曲线C无公共点，设$Q（3\sqrt{3}cosθ，\sqrt{3}sinθ）$，利用点到直线的距离公式及其三角函数的和差公式及其单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）点$P（{2，-\frac{π}{3}}）$的直角坐标为$（2cos（-\frac{π}{3}），2sin（-\frac{π}{3}））$，即$（{1，-\sqrt{3}}）$．
由直线l $ρcos（{\frac{π}{3}+θ}）=6$，得$\frac{1}{2}ρ（{cosθ-\sqrt{3}sinθ}）=6$．
则l的直角坐标方程为：$x-\sqrt{3}y-12=0$，
点P到l的距离$d=\frac{{|{1+3-12}|}}{2}=4$．
（Ⅱ）可以判断，直线l与曲线C无公共点，
设$Q（3\sqrt{3}cosθ，\sqrt{3}sinθ）$，
则点Q到直线$x-\sqrt{3}y-12=0$的距离为$d=\frac{{|{3\sqrt{3}cosθ-3sinθ-12}|}}{2}=\frac{{|{6cos（{θ+\frac{π}{6}}）-12}|}}{2}$，
∴当$cos（{θ+\frac{π}{6}}）=-1$时，d_max=9．

点评 本题考查了直角坐标与极坐标的互化、点到直线的距离公式、三角函数的和差公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．