Question

10．已知函数f（x）=|log₄x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m²，n]上的最大值为2，则m，n的值分别为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$，2
• B． $\frac{1}{4}$，4
• C． $\frac{1}{4}$，2
• D． $\frac{1}{2}$，4

Answer 1

分析 由题意和对数函数的性质得m＜1＜n、log₄m＜0、log₄n＞0，代入已知的等式由对数的运算性质化简，由
f（x）的最大值和对数函数的性质列出方程，求出m、n的值．

解答 解：∵函数f（x）=|log₄x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），
∴m＜1＜n，log₄m＜0，log₄n＞0，则-log₄m=log₄n，
∴$\frac{1}{m}=n$，得mn=1，
∵f（x）在区间[m²，n]上的最大值为2，
∴f（x）在区间$[{m^2}，\frac{1}{m}]$上的最大值为2，
∴$-{log_4}{m^2}=2$，则log₄m=-1，解得$m=\frac{1}{4}，n=4$，
故选B．

点评 本题考查了对数函数的性质，以及对数的运算性质，属于基础题．