Question

5．（1）求过原点且倾斜有为60°的直线被圆x²+y²-4y=0所截得的弦长．
（2）解不等式x+|2x+3|≥3．

Answer 1

分析 （1）由题意得到直线方程，联立直线方程和圆的方程求得弦的两个端点的坐标，由两点间的距离公式得答案；
（2）由x分段去绝对值，然后求解不等式组得答案．

解答 解：（1）由题意可知，直线的斜率k=tan60°=$\sqrt{3}$，则直线方程为y=$\sqrt{3}x$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-4y=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\sqrt{3}}\\{{y}_{2}=3}\end{array}\right.$，
∴弦的两个端点为（0，0），（$\sqrt{3}，3$），
则弦长为$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}=2\sqrt{3}$；
（2）原不等式可化为$\left\{{\begin{array}{l}{x＜-\frac{3}{2}}\\{-x-3≥3}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x≥-\frac{3}{2}}\\{3x+3≥3}\end{array}}\right.$．
解得x≤-6或x≥0．
∴原不等式的解集是{x|x≤-6或x≥0}．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查了方程组的解法，训练了绝对值不等式的解法，是中档题．