Question

10．已知矩阵A=$[\begin{array}{l}{a}&{2}\\{b}&{1}\end{array}]$，若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为$\overrightarrow{a}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，求该矩阵的另一个特征值．

Answer 1

分析 根据矩阵A属于特征值3的一个特征向量为$\overrightarrow{a}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，可得a，b的值，再回代到方程f（λ）=0即可解出另一个特征值为λ=-1．

解答 解：因为$[\begin{array}{l}{a}&{2}\\{b}&{1}\end{array}]$•$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$=3$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，则$\left\{\begin{array}{l}{a+2=3}\\{b+1=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
所以A=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{2}&{1}\end{array}]$，
由f（λ）=$[\begin{array}{l}{λ-1}&{-2}\\{-2}&{λ-1}\end{array}]$=（λ-1）²-4=0，
所以（λ+1）（λ-3）=0，
解的λ=-1或λ=3，
所以 该矩阵的另一个特征值是-1

点评 本题给出含有字母参数的矩阵，考查了特征值与特征向量的计算的知识，属于基础题．